9.1 类型 (Types)
        9.2 转换及取出 (Conversion and Extraction)
        9.3 比较 (Comparison)
        9.4 算术 (Arithematic)
        9.5 指数 (Exponentiation)
        9.6 三角函数 (Trigometric Functions)
        9.7 表示法 (Representations)
        9.8 范例：追踪光线 (Example: Ray-Tracing)
        Chapter 9 总结 (Summary)
        Chapter 9 练习 (Exercises)

9.1 类型 (Types)

Common Lisp 提供了四种不同类型的数字：整数、浮点数、比值与复数。本章所讲述的函数适用于所有类型的数字。有几个不能用在复数的函数会特别说明。

整数写成一串数字：如 2001 。浮点数是可以写成一串包含小数点的数字，如 253.72 ，或是用科学表示法，如 2.5372e2 。比值是写成由整数组成的分数：如 2/3 。而复数 a+bi 写成 #c(a b) ，其中 a 与 b 是任两个类型相同的实数。

谓词 integerp 、 floatp 以及 complexp 针对相应的数字类型返回真。图 9.1 展示了数值类型的层级。

../_images/Figure-9.1.png

图 9.1: 数值类型

要决定计算过程会返回何种数字，以下是某些通用的经验法则：

    如果数值函数接受一个或多个浮点数作为参数，则返回值会是浮点数 (或是由浮点数组成的复数)。所以 (+ 1.0 2) 求值为 3.0，而 (+ #c(0 1.0) 2) 求值为 #c(2.0 1.0) 。
    可约分的比值会被转换成最简分数。所以 (/ 10 2) 会返回 5 。
    若计算过程中复数的虚部变成 0 时，则复数会被转成实数 。所以 (+ #c(1 -1) #c(2 1)) 求值成 3 。

第二、第三个规则可以在读入参数时直接应用，所以：

> (list (ratiop 2/2) (complexp #c(1 0)))
(NIL NIL)

9.2 转换及取出 (Conversion and Extraction)

Lisp 提供四种不同类型的数字的转换及取出位数的函数。函数 float 将任何实数转换成浮点数:

> (mapcar #'float '(1 2/3 .5))
(1.0 0.6666667 0.5)

将数字转成整数未必需要转换，因为它可能牵涉到某些资讯的丧失。函数 truncate 返回任何实数的整数部分:

> (truncate 1.3)
1
0.29999995

第二个返回值 0.29999995 是传入的参数减去第一个返回值。(会有 0.00000005 的误差是因为浮点数的计算本身就不精确。)

函数 floor 与 ceiling 以及 round 也从它们的参数中导出整数。使用 floor 返回小于等于其参数的最大整数，而 ceiling 返回大于或等于其参数的最小整数，我们可以将 mirror? (46 页，译注: 3.11 节)改成可以找出所有回文（palindromes）的版本:

(defun palindrome? (x)
  (let ((mid (/ (length x) 2)))
    (equal (subseq x 0 (floor mid))
           (reverse (subseq x (ceiling mid))))))

和 truncate 一样， floor 与 ceiling 也返回传入参数与第一个返回值的差，作为第二个返回值。

> (floor 1.5)
1
0.5

实际上，我们可以把 truncate 想成是这样定义的:

(defun our-truncate (n)
    (if (> n 0)
        (floor n)
        (ceiling n)))

函数 round 返回最接近其参数的整数。当参数与两个整数的距离相等时， Common Lisp 和很多程序语言一样，不会往上取（round up）整数。而是取最近的偶数：

> (mapcar #'round '(-2.5 -1.5 1.5 2.5))
(-2 -2 2 2)

在某些数值应用中这是好事，因为舍入误差（rounding error）通常会互相抵消。但要是用户期望你的程序将某些值取整数时，你必须自己提供这个功能。 [1] 与其他的函数一样， round 返回传入参数与第一个返回值的差，作为第二个返回值。

函数 mod 仅返回 floor 返回的第二个返回值；而 rem 返回 truncate 返回的第二个返回值。我们在 94 页（译注： 5.7 节）曾使用mod 来决定一个数是否可被另一个整除，以及 127 页（译注： 7.4 节）用来找出环状缓冲区（ring buffer）中，元素实际的位置。

关于实数，函数 signum 返回 1 、 0 或 -1 ，取决于它的参数是正数、零或负数。函数 abs 返回其参数的绝对值。因此 (* (absx) (signum x)) 等于 x 。

> (mapcar #'signum '(-2 -0.0 0.0 0 .5 3))
(-1 -0.0 0.0 0 1.0 1)

在某些应用里， -0.0 可能自成一格（in its own right），如上所示。实际上功能上几乎没有差别，因为数值 -0.0 与 0.0 有着一样的行为。

比值与复数概念上是两部分的结构。(译注：像 Cons 这样的两部分结构) 函数 numerator 与 denominator 返回比值或整数的分子与分母。（如果数字是整数，前者返回该数，而后者返回 1 。）函数 realpart 与 imgpart 返回任何数字的实数与虚数部分。（如果数字不是复数，前者返回该数字，后者返回 0 。）

函数 random 接受一个整数或浮点数。这样形式的表达式 (random n) ，会返回一个大于等于 0 并小于 n 的数字，并有着与 n 相同的类型。
9.3 比较 (Comparison)

谓词 = 比较其参数，当数值上相等时 ── 即两者的差为零时，返回真。

> (= 1 1.0)
T
> (eql 1 1.0)
NIL

= 比起 eql 来得宽松，但参数的类型需一致。

用来比较数字的谓词为 < （小于）、 <= （小于等于）、 = （等于）、 >= （大于等于）、 > (大于) 以及 /= （不相等）。以上所有皆接受一个或多个参数。只有一个参数时，它们全返回真。

(<= w x y z)

等同于二元操作符的结合（conjunction），应用至每一对参数上:

(and (<= w x) (<= x y) (<= y z))

由于 /= 若它的两个参数不等于时会返回真，表达式

(/= w x y z)

等同于

(and (/= w x) (/= w y) (/= w z)
     (/= x y) (/= y z) (/= y z))

特殊的谓词 zerop 、 plusp 与 minusp 接受一个参数，分别于参数 = 、 > 、 < 零时，返回真。虽然 -0.0 （如果实现有使用它）前面有个负号，但它 = 零，

> (list (minusp -0.0) (zerop -0.0))
(NIL T)

因此对 -0.0 使用 zerop ，而不是 minusp 。

谓词 oddp 与 evenp 只能用在整数。前者只对奇数返回真，后者只对偶数返回真。

本节定义的谓词中，只有 = 、 /= 与 zerop 可以用在复数。

函数 max 与 min 分别返回其参数的最大值与最小值。两者至少需要给一个参数:

> (list (max 1 2 3 4 5) (min 1 2 3 4 5))
(5 1)

如果参数含有浮点数的话，结果的类型取决于各家实现。
9.4 算术 (Arithematic)

用来做加减的函数是 + 与 - 。两者皆接受任何数量的参数，包括没有参数，在没有参数的情况下返回 0 。（译注: - 在没有参数的情况下会报错，至少要一个参数）一个这样形式的表达式 (- n) 返回 -n 。一个这样形式的表达式

(- x y z)

等同于

(- (- x y) z)

有两个函数 1+ 与 1- ，分别将参数加 1 与减 1 后返回。 1- 有一点误导，因为 (1- x) 返回 x-1 而不是 1-x 。

宏 incf 及 decf 分别递增与递减数字。这样形式的表达式 (incf x n) 类似于 (setf x (+ x n)) 的效果，而 (decf x n) 类似于 (setf x (- x n)) 的效果。这两个形式里，第二个参数皆是选择性给入的，缺省值为 1 。

用来做乘法的函数是 * 。接受任何数量的参数。没有参数时返回 1 。否则返回参数的乘积。

除法函数 / 至少要给一个参数。这样形式的调用 (/ n) 等同于 (/ 1 n) ，

> (/ 3)
1/3

而这样形式的调用

(/ x y z)

等同于

(/ (/ x y) z)

注意 - 与 / 两者在这方面的相似性。

当给定两个整数时， / 若第一个不是第二个的倍数时，会返回一个比值:

> (/ 365 12)
365/12

举例来说，如果你试着找出平均每一个月有多长，可能会有解释器在逗你玩的感觉。在这个情况下，你需要的是，对比值调用 float，而不是对两个整数做 / 。

> (float 365/12)
30.416666

9.5 指数 (Exponentiation)

要找到 xn 调用 (expt x n) ，

> (expt 2 5)
32

而要找到 lognx 调用 (log x n) :

> (log 32 2)
5.0

通常返回一个浮点数。

要找到 ex 有一个特别的函数 exp ，

> (exp 2)
7.389056

而要找到自然对数，你可以使用 log 就好，因为第二个参数缺省为 e :

> (log 7.389056)
2.0

要找到立方根，你可以调用 expt 用一个比值作为第二个参数，

> (expt 27 1/3)
3.0

但要找到平方根，函数 sqrt 会比较快:

> (sqrt 4)
2.0

9.6 三角函数 (Trigometric Functions)

常量 pi 是 π 的浮点表示法。它的精度取决于各家实现。函数 sin 、 cos 及 tan 分别可以找到正弦、余弦及正交函数，其中角度以径度表示：

> (let ((x (/ pi 4)))
    (list (sin x) (cos x) (tan x)))
(0.7071067811865475d0 0.7071067811865476d0 1.0d0)
;;; 译注: CCL 1.8  SBCL 1.0.55 下的结果是
;;; (0.7071067811865475D0 0.7071067811865476D0 0.9999999999999999D0)

这些函数都接受负数及复数参数。

函数 asin 、 acos 及 atan 实现了正弦、余弦及正交的反函数。参数介于 -1 与 1 之间（包含）时， asin 与 acos 返回实数。

双曲正弦、双曲余弦及双曲正交分别由 sinh 、 cosh 及 tanh 实现。它们的反函数同样为 asinh 、 acosh 以及 atanh 。
9.7 表示法 (Representations)

Common Lisp 没有限制整数的大小。可以塞进一个字（word）内存的小整数称为定长数(fixnums)。在计算过程中，整数无法塞入一个字时，Lisp 切换至使用多个字的表示法（一个大数 「bignum」）。所以整数的大小限制取决于实体内存，而不是语言。

常量 most-positive-fixnum 与 most-negative-fixnum 表示一个实现不使用大数所可表示的最大与最小的数字大小。在很多实现里，它们为：

> (values most-positive-fixnum most-negative-fixnum)
536870911
-536870912
;;; 译注: CCL 1.8 的结果为
1152921504606846975
-1152921504606846976
;;; SBCL 1.0.55 的结果为
4611686018427387903
-4611686018427387904

谓词 typep 接受一个参数及一个类型名称，并返回指定类型的参数。所以，

> (typep 1 'fixnum)
T
> (type (1+ most-positive-fixnum) 'bignum)
T

浮点数的数值限制是取决于各家实现的。 Common Lisp 提供了至多四种类型的浮点数：短浮点 short-float 、 单浮点 single-float 、双浮点 double-float 以及长浮点 long-float 。Common Lisp 的实现是不需要用不同的格式来表示这四种类型（很少有实现这么干）。

一般来说，短浮点应可塞入一个字，单浮点与双浮点提供普遍的单精度与双精度浮点数的概念，而长浮点，如果想要的话，可以是很大的数。但实现可以不对这四种类型做区别，也是完全没有问题的。

你可以指定你想要何种格式的浮点数，当数字是用科学表示法时，可以通过将 e 替换为 sfdl 来得到不同的浮点数。（你也可以使用大写，这对长浮点来说是个好主意，因为 l 看起来太像 1 了。）所以要表示最大的 1.0 你可以写 1L0 。

（译注: s 为短浮点、 f 为单浮点、 d 为双浮点、 l 为长浮点。）

在给定的实现里，用十六个全局常量标明了每个格式的限制。它们的名字是这种形式: m-s-f ，其中 m 是 most 或 least ， s 是positive 或 negative ，而 f 是四种浮点数之一。 λ

浮点数下溢（underflow）与溢出（overflow），都会被 Common Lisp 视为错误 :

> (* most-positive-long-float 10)
Error: floating-point-overflow

9.8 范例：追踪光线 (Example: Ray-Tracing)

作为一个数值应用的范例，本节示范了如何撰写一个光线追踪器 (ray-tracer)。光线追踪是一个高级的 (deluxe)渲染算法: 它产生出逼真的图像，但需要花点时间。

要产生一个 3D 的图像，我们至少需要定义四件事: 一个观测点 (eye)、一个或多个光源、一个由一个或多个平面所组成的模拟世界 (simulated world)，以及一个作为通往这个世界的窗户的平面 (图像平面「image plane」)。我们产生出的是模拟世界投影在图像平面区域的图像。

光线追踪独特的地方在于，我们如何找到这个投影: 我们一个一个像素地沿着图像平面走，追踪回到模拟世界里的光线。这个方法带来三个主要的优势: 它让我们容易得到现实世界的光学效应 (optical effect)，如透明度 (transparency)、反射光 (reflected light)以及产生阴影 (cast shadows)；它让我们可以直接用任何我们想要的几何的物体，来定义出模拟的世界，而不需要用多边形 (polygons)来建构它们；以及它很简单实现。

(defun sq (x) (* x x))

(defun mag (x y z)
  (sqrt (+ (sq x) (sq y) (sq z))))

(defun unit-vector (x y z)
  (let ((d (mag x y z)))
    (values (/ x d) (/ y d) (/ z d))))

(defstruct (point (:conc-name nil))
  x y z)

(defun distance (p1 p2)
  (mag (- (x p1) (x p2))
       (- (y p1) (y p2))
       (- (z p1) (z p2))))

(defun minroot (a b c)
  (if (zerop a)
      (/ (- c) b)
      (let ((disc (- (sq b) (* 4 a c))))
        (unless (minusp disc)
          (let ((discrt (sqrt disc)))
            (min (/ (+ (- b) discrt) (* 2 a))
                 (/ (- (- b) discrt) (* 2 a))))))))

图 9.2 实用数学函数

图 9.2 包含了我们在光线追踪器里会需要用到的一些实用数学函数。第一个 sq ，返回其参数的平方。下一个 mag ，返回一个给定 x``yz 所组成向量的大小 (magnitude)。这个函数被接下来两个函数用到。我们在 unit-vector 用到了，此函数返回三个数值，来表示与单位向量有着同样方向的向量，其中向量是由 xyz 所组成的:

> (multiple-value-call #'mag (unit-vector 23 12 47))
1.0

我们在 distance 也用到了 mag ，它返回三维空间中，两点的距离。（定义 point 结构来有一个 nil 的 conc-name 意味着栏位存取的函数会有跟栏位一样的名字: 举例来说， x 而不是 point-x 。)

最后 minroot 接受三个实数， a , b 与 c ，并返回满足等式 ax2+bx+c=0 的最小实数 x 。当 a 不为 0 时，这个等式的根由下面这个熟悉的式子给出:

x=−b±b2−4ac−−−−−−−√2a

图 9.3 包含了定义一个最小光线追踪器的代码。 它产生通过单一光源照射的黑白图像，与观测点 (eye)处于同个位置。 (结果看起来像是闪光摄影术 (flash photography)拍出来的)

surface 结构用来表示模拟世界中的物体。更精确的说，它会被 included 至定义具体类型物体的结构里，像是球体 (spheres)。surface 结构本身只包含一个栏位: 一个 color 范围从 0 (黑色) 至 1 (白色)。

(defstruct surface color)

(defparameter *world* nil)
(defconstant eye (make-point :x 0 :y 0 :z 200))

(defun tracer (pathname &optional (res 1))
  (with-open-file (p pathname :direction :output)
    (format p "P2 ~A ~A 255" (* res 100) (* res 100))
    (let ((inc (/ res)))
      (do ((y -50 (+ y inc)))
          ((< (- 50 y) inc))
        (do ((x -50 (+ x inc)))
            ((< (- 50 x) inc))
          (print (color-at x y) p))))))

(defun color-at (x y)
  (multiple-value-bind (xr yr zr)
                       (unit-vector (- x (x eye))
                                    (- y (y eye))
                                    (- 0 (z eye)))
    (round (* (sendray eye xr yr zr) 255))))

(defun sendray (pt xr yr zr)
  (multiple-value-bind (s int) (first-hit pt xr yr zr)
    (if s
        (* (lambert s int xr yr zr) (surface-color s))
        0)))

(defun first-hit (pt xr yr zr)
  (let (surface hit dist)
    (dolist (s *world*)
      (let ((h (intersect s pt xr yr zr)))
        (when h
          (let ((d (distance h pt)))
            (when (or (null dist) (< d dist))
              (setf surface s hit h dist d))))))
    (values surface hit)))

(defun lambert (s int xr yr zr)
  (multiple-value-bind (xn yn zn) (normal s int)
    (max 0 (+ (* xr xn) (* yr yn) (* zr zn)))))

图 9.3 光线追踪。

图像平面会是由 x 轴与 y 轴所定义的平面。观测者 (eye) 会在 z 轴，距离原点 200 个单位。所以要在图像平面可以被看到，插入至*worlds* 的表面 (一开始为 nil)会有着负的 z 座标。图 9.4 说明了一个光线穿过图像平面上的一点，并击中一个球体。

../_images/Figure-9.4.png

图 9.4: 追踪光线。

函数 tracer 接受一个路径名称，并写入一张图片至对应的文件。图片文件会用一种简单的 ASCII 称作 PGM 的格式写入。默认情况下，图像会是 100x100 。我们 PGM 文件的标头 (headers) 会由标签 P2 组成，伴随着指定图片宽度 (breadth)与高度 (height)的整数，初始为 100，单位为 pixel，以及可能的最大值 (255)。文件剩余的部份会由 10000 个介于 0 (黑)与 1 (白)整数组成，代表着 100 条 100 像素的水平线。

图片的解析度可以通过给入明确的 res 来调整。举例来说，如果 res 是 2 ，则同样的图像会被渲染成 200x200 。

图片是一个在图像平面 100x100 的正方形。每一个像素代表着穿过图像平面抵达观测点的光的数量。要找到每个像素光的数量，tracer 调用 color-at 。这个函数找到从观测点至该点的向量，并调用 sendray 来追踪这个向量回到模拟世界的轨迹； sandray 会返回一个数值介于 0 与 1 之间的亮度 (intensity)，之后会缩放成一个 0 至 255 的整数来显示。

要决定一个光线的亮度， sendray 需要找到光是从哪个物体所反射的。要办到这件事，我们调用 first-hit ，此函数研究在*world* 里的所有平面，并返回光线最先抵达的平面（如果有的话）。如果光没有击中任何东西， sendray 仅返回背景颜色，按惯例是 0 (黑色)。如果光线有击中某物的话，我们需要找出在光击中时，有多少数量的光照在该平面。

朗伯定律 告诉我们，由平面上一点所反射的光的强度，正比于该点的单位法向量 (unit normal vector) N (这里是与平面垂直且长度为一的向量)与该点至光源的单位向量 L 的点积 (dot-product):

i=N⋅L

如果光刚好照到这点， N 与 L 会重合 (coincident)，则点积会是最大值， 1 。如果将在这时候将平面朝光转 90 度，则 N 与 L 会垂直，则两者点积会是 0 。如果光在平面后面，则点积会是负数。

在我们的程序里，我们假设光源在观测点 (eye)，所以 lambert 使用了这个规则来找到平面上某点的亮度 (illumination)，返回我们追踪的光的单位向量与法向量的点积。

在 sendray 这个值会乘上平面的颜色 (即便是有好的照明，一个暗的平面还是暗的)来决定该点之后总体亮度。

为了简单起见，我们在模拟世界里会只有一种物体，球体。图 9.5 包含了与球体有关的代码。球体结构包含了 surface ，所以一个球体会有一种颜色以及 center 和 radius 。调用 defsphere 添加一个新球体至世界里。

(defstruct (sphere (:include surface))
  radius center)

(defun defsphere (x y z r c)
  (let ((s (make-sphere
             :radius r
             :center (make-point :x x :y y :z z)
             :color  c)))
    (push s *world*)
    s))

(defun intersect (s pt xr yr zr)
  (funcall (typecase s (sphere #'sphere-intersect))
           s pt xr yr zr))

(defun sphere-intersect (s pt xr yr zr)
  (let* ((c (sphere-center s))
         (n (minroot (+ (sq xr) (sq yr) (sq zr))
                     (* 2 (+ (* (- (x pt) (x c)) xr)
                             (* (- (y pt) (y c)) yr)
                             (* (- (z pt) (z c)) zr)))
                     (+ (sq (- (x pt) (x c)))
                        (sq (- (y pt) (y c)))
                        (sq (- (z pt) (z c)))
                        (- (sq (sphere-radius s)))))))
    (if n
        (make-point :x  (+ (x pt) (* n xr))
                    :y  (+ (y pt) (* n yr))
                    :z  (+ (z pt) (* n zr))))))

(defun normal (s pt)
  (funcall (typecase s (sphere #'sphere-normal))
           s pt))

(defun sphere-normal (s pt)
  (let ((c (sphere-center s)))
    (unit-vector (- (x c) (x pt))
                 (- (y c) (y pt))
                 (- (z c) (z pt)))))

图 9.5 球体。

函数 intersect 判断与何种平面有关，并调用对应的函数。在此时只有一种， sphere-intersect ，但 intersect 是写成可以容易扩展处理别种物体。

我们要怎么找到一束光与一个球体的交点 (intersection)呢？光线是表示成点 p=⟨x0,y0,x0⟩ 以及单位向量 v=⟨xr,yr,xr⟩ 。每个在光上的点可以表示为 p+nv ，对于某个 n ── 即 ⟨x0+nxr,y0+nyr,z0+nzr⟩ 。光击中球体的点的距离至中心 ⟨xc,yc,zc⟩ 会等于球体的半径 r 。所以在下列这个交点的方程序会成立:

r=(x0+nxr−xc)2+(y0+nyr−yc)2+(z0+nzr−zc)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

这会给出

an2+bn+c=0

其中

a=x2r+y2r+z2rb=2((x0−xc)xr+(y0−yc)yr+(z0−zc)zr)c=(x0−xc)2+(y0−yc)2+(z0−zc)2−r2

要找到交点我们只需要找到这个二次方程序的根。它可能是零、一个或两个实数根。没有根代表光没有击中球体；一个根代表光与球体交于一点 (擦过 「grazing hit」)；两个根代表光与球体交于两点 (一点交于进入时、一点交于离开时)。在最后一个情况里，我们想要两个根之中较小的那个； n 与光离开观测点的距离成正比，所以先击中的会是较小的 n 。所以我们调用 minroot 。如果有一个根， sphere-intersect 返回代表该点的 ⟨x0+nxr,y0+nyr,z0+nzr⟩ 。

图 9.5 的另外两个函数， normal 与 sphere-normal 类比于 intersect 与 sphere-intersect 。要找到垂直于球体很简单 ── 不过是从该点至球体中心的向量而已。

图 9.6 示范了我们如何产生图片； ray-test 定义了 38 个球体（不全都看的见）然后产生一张图片，叫做 “sphere.pgm” 。

(译注：PGM 可移植灰度图格式，更多信息参见 wiki )

(defun ray-test (&optional (res 1))
  (setf *world* nil)
  (defsphere 0 -300 -1200 200 .8)
  (defsphere -80 -150 -1200 200 .7)
  (defsphere 70 -100 -1200 200 .9)
  (do ((x -2 (1+ x)))
      ((> x 2))
    (do ((z 2 (1+ z)))
        ((> z 7))
      (defsphere (* x 200) 300 (* z -400) 40 .75)))
  (tracer (make-pathname :name "spheres.pgm") res))

图 9.6 使用光线追踪器

图 9.7 是产生出来的图片，其中 res 参数为 10。

../_images/Figure-9.7.png

图 9.7: 追踪光线的图

一个实际的光线追踪器可以产生更复杂的图片，因为它会考虑更多，我们只考虑了单一光源至平面某一点。可能会有多个光源，每一个有不同的强度。它们通常不会在观测点，在这个情况程序需要检查至光源的向量是否与其他平面相交，这会在第一个相交的平面上产生阴影。将光源放置于观测点让我们不需要考虑这麽复杂的情况，因为我们看不见在阴影中的任何点。

一个实际的光线追踪器不仅追踪光第一个击中的平面，也会加入其它平面的反射光。一个实际的光线追踪器会是有颜色的，并可以模型化出透明或是闪耀的平面。但基本的算法会与图 9.3 所演示的差不多，而许多改进只需要递回的使用同样的成分。

一个实际的光线追踪器可以是高度优化的。这里给出的程序为了精简写成，甚至没有如 Lisp 程序员会最佳化的那样，就仅是一个光线追踪器而已。仅加入类型与行内宣告 (13.3 节)就可以让它变得两倍以上快。
Chapter 9 总结 (Summary)

    Common Lisp 提供整数 (integers)、比值 (ratios)、浮点数 (floating-point numbers)以及复数 (complex numbers)。
    数字可以被约分或转换 (converted)，而它们的位数 (components)可以被取出。
    用来比较数字的谓词可以接受任意数量的参数，以及比较下一数对 (successive pairs) ── /= 函数除外，它是用来比较所有的数对 (pairs)。
    Common Lisp 几乎提供你在低阶科学计算机可以看到的数值函数。同样的函数普遍可应用在多种类型的数字上。
    Fixnum 是小至可以塞入一个字 (word)的整数。它们在必要时会悄悄但花费昂贵地转成大数 (bignum)。Common Lisp 提供最多四种浮点数。每一个浮点表示法的限制是实现相关的 (implementation-dependent)常量。
    一个光线追踪器 (ray-tracer)通过追踪光线来产生图像，使得每一像素回到模拟的世界。

Chapter 9 练习 (Exercises)

    定义一个函数，接受一个实数列表，若且唯若 (iff)它们是非递减 (nondecreasing)顺序时返回真。
    定义一个函数，接受一个整数 cents 并返回四个值，将数字用 25- , 10- , 5- , 1- 来显示，使用最少数量的硬币。(译注: 25- 是 25 美分，以此类推)
    一个遥远的星球住着两种生物， wigglies 与 wobblies 。 Wigglies 与 wobblies 唱歌一样厉害。每年都有一个比赛来选出十大最佳歌手。下面是过去十年的结果:

YEAR    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
WIGGLIES    6    5    6    4    5    5    4    5    6    5
WOBBLIES    4    5    4    6    5    5    6    5    4    5

写一个程序来模拟这样的比赛。你的结果实际上有建议委员会每年选出 10 个最佳歌手吗？

    定义一个函数，接受 8 个表示二维空间中两个线段端点的实数，若线段没有相交，则返回假，或返回两个值表示相交点的 x 座标与 y 座标。
    假设 f 是一个接受一个 (实数) 参数的函数，而 min 与 max 是有着不同正负号的非零实数，使得 f 对于参数 i 有一个根 (返回零)并满足 min < i < max 。定义一个函数，接受四个参数， f , min , max 以及 epsilon ，并返回一个 i 的近似值，准确至正负 epsilon 之内。
    Honer’s method 是一个有效率求出多项式的技巧。要找到 ax3+bx2+cx+d 你对 x(x(ax+b)+c)+d 求值。定义一个函数，接受一个或多个参数 ── x 的值伴随着 n 个实数，用来表示 (n-1) 次方的多项式的系数 ── 并用 Honer’s method 计算出多项式的值。

译注: Honer’s method on wiki

    你的 Common Lisp 实现使用了几个位元来表示定长数？
    你的 Common Lisp 实现提供几种不同的浮点数？

脚注

[1] | 当 format 取整显示时，它不保证会取成偶数或奇数。见 125 页 (译注: 7.4 节)。